Аннотация: Почему я выбрала тему «Проценты»?
Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к выводу, что по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Поэтому я взяла подборку задач из ОГЭ – 9 классов, из ЕГЭ – 11 классов на банковские проценты, где применяется формула сложных процентов.
1. Из истории происхождения процентов
2. Решение задач на проценты разными способами
3. Решение задач по формуле сложных процентов
Заключение
Ход урока:
Цель урока
Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека;
Задачи:
Познакомиться с историей возникновения процентов;
Решать задачи на проценты разными способами;
Сделать подборку задач из ОГЭ – 9 кл., ЕГЭ -11кл., решаемые по формуле сложных процентов;
Исследовать бюджет семьи и посещаемость кружков учащихся моего класса;
Научиться составлять различные диаграммы и таблицы;
Поработать в текстовом редакторе;
Поработать с ресурсами Internet;
Получить опыт публичного выступления.
1. Из истории происхождения процентов
Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают целые части чисел в одних и тех же сотых долях. Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto ввел %.
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды)[1].
Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).
2. Решение задач на проценты разными способами
При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила:
Нахождение процентов от числа:
Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.
Нахождение числа по его процентам:
Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.
Нахождение процентного отношения чисел:
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.
Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила.
Задача 1. (ЕГЭ 2005)
За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальной?
Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами:
1) используя пропорцию
2) по действиям
Решение.
1 способ: Узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за первый год.
Пусть: х – начальный выпуск
у – после увеличения на 8%
х – 100% у = х*8 = 1,08х
у – 108% 100
Теперь, узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за второй год.
Пусть: 1.08х – теперь уже начальный выпуск
z – после увеличения на 25%, тогда
1,08х – 100% z= 1,08х*125 = 1,35х
z – 125% 100
В итоге у нас получилось, что выпуск продукции равен 1,35;
Значит выпуск увеличился на 0,35 или на 35%
2 способ:
1) 1,00+0,08=1,08 (узнали выпуск продукции после первого увеличения)
2)1,00+0,25=1,25 (узнали выпуск продукции после второго увеличения)
3)1,08*1,25=1,35 (это выпуск продукции после двух увеличений)
4)1,35-1,00=0,35 (увеличения выпуска продукции после двух прибавок)
ОТВЕТ: выпуск продукции по сравнению с первоначальной вырос на 35%.
Задача 2(ЕГЭ 2006)
Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращение цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены (на сколько процентов)?
Решение:
Решим эту задачу с помощью пропорций.
Пусть: х – первоначальная цена
у – цена после повышения цен на 150%
х– 100% у = 250х; у = 2,5х (новая цена)
у– 250% 100
2,5х – 100% 100*х = 40%
х- ?% 2,5х
40% - составила первоначальная цена от инфляции, поэтому цены должны быть уменьшены на 60%
100% - 40% = 60%
ОТВЕТ: цены должны быть уменьшены на 60%.
Задача 3
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%?
Решение:
Решим эту задачу пропорцией и по действиям.
Пусть: х – на сколько рублей понизилась цена тетрадей.
40 – 100% х = 40*0,15 = 6 (рублей)
х – 15% 100
1) 40 – 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь
2) 650 * 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей
ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей
Задача 4
Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?
Решение:
Решим эту задачу уравнением.
Пусть: х - количество воды, которое надо добавить
(50+х) – новое количество раствора
50* 0,08 – количество соли в исходном растворе
0,05(50+х) количество соли в новом растворе
Так как количество соли от добавления не изменилось, то оно одинаково в обоих растворах – и в исходном, и в новом.
Получаем уравнение:
50*0,08 = 0,05(50+х)
50*8 = 5*(50+х)
400= 250+5х
-5х= -150
х = 30 (г.)
ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.
Вывод: решение задачи с помощью уравнения.
3. Решение задач на сложные проценты
Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.
Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.
Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.
х (1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.
х(1+ 0,01а)n,
где х - начальный вклад, сумма.
а – процент(ы) годовых
n- время размещения вклада в банке
Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.
Пример:
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать
сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль - 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.
Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.
Задача 6
Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?
Решим эту задачу по формуле сложных процентов
х (1 + 0,01а)n,
где х – первоначальный вклад.
а – процент годовых.
n - время размещения вклада в банке.
Применим эту формулу к нашей задаче
первоначальный вклад – 2000
процент годовых - 12
n – 6 лет, значит
2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65
ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..
Вывод: решаем задачу, применив новое свойство нахождения процентов по формуле сложных процентов.
Задача 7 (ЕГЭ 2006год)
После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?
Решим эту задачу по формуле сложных процентов – х (1-0,01а)n
Получим:
400*(1-0,01а)2=324
20(1 – 0,01а) = 18
1 – 0,01а = 0,9
а = 10
ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%
Задача 8(ЕГЭ 2006год)
По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами: 1)по действиям
2)по формуле сложных процентов
Решение:
1)узнаем доход за первый год
80000*0.12=9600руб.
2)найдем сумму на счете после первого года
80000+ 9600= 89600руб.
3)определим доход за второй год
89600* 0,12= 10752 руб.
4)узнаем конечную сумму на счете
10752 + 89600= 100352руб.
5)найдем доход после двух лет
100352- 80000= 20352 руб.
ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб.
Эту же задачу решим по формуле банковских процентов: х(1 + 0,01а)n
Пусть: х – 80000 – начальный вклад
а – 12% годовых
n – 2 года, получим:
80000(1+ 0,12)2 = 80000 * 1,122 = 100 352 руб.
Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.
100352 – 80000 = 20 352руб.
ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 29 352 руб.
Вывод: решила задачу двумя способами, доказав, что проще и быстрее решить задачу по формуле сложных процентов, а не по действиям.
Задача 9(ЕГЭ 2006год)
Банк предлагает клиентам два вида вкладов. Первый «До востребования» со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается на 10% от суммы, имеющиеся на счету клиента в момент начисления. Второй вклад «номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждые из указанных счетов, через два года оказались снова равными?
Решение:
Решим эту задачу уравнением, применяя форму банковских процентов.
Пусть: х – начальный вклад; тогда через 6 месяцев сумма на счете будет равна
х*х+0,1=х(1+0,1);
через год сумма будет
х(1+0,1)+х(1+0,1)*0,1= х(1+0,1)2;
Тогда через два года сумма будет равна х(1+0,1)4
Сумма вклада «Номерной» через два года, после двух начислений равна х(1+0,01х)2
Получим уравнение:
х(1+0,01х)2 = х(1+0,1)4
1+0,01х=(1+0,1)2
100+х = 1102
100 100
100+х = 12100
100
100+х=121
Х=21%
ОТВЕТ: банк должен начислять 21% годовых, по «номерному» вкладу.
Задача 10 (ЕГЭ 2006год)
Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 20%, в другом через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать ценны товара через каждые два месяца во втором магазине?
Решение:
Решим эту задачу с помощью формулы сложных процентов: х(1+0,01а)n
Пусть: х – начальная цена, тогда, через месяц, после первого понижения, в первом магазине, цена на товар будет равна х(1-0,2) после второго понижения х(1-0,2)2;
Тогда, через полгода (после шести понижений) цена будет равна х(1-0,2)4
Цена товара, во втором магазине после трех понижений на а% будет равна
х(1-0,01а)2 Получаем уравнение:
х(1-0,01а)2= х(1-0,2)4
1 – а = (100- 20)2
100 1002
100 – а = 80
100 1002
100 – а = 64
а = 36%
ОТВЕТ: на 36% надо снижать цены во втором магазине.
Заключение
В ходе проделанной работы ученики поняли, что сложные проценты – это проценты, полученные на начисленные проценты.
Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.
| 
